exo sur la résolution d'un systeme differentiel

Bonjour !
Voici un exo où il faut résoudre un systeme differentiel que j'écris sous forme matricielle : X'=AX
avec 2 1 -3/2 -1/2
A= 0 0 -1/2 -1/2 X'= ( x'1 x'2 x'3 x'4) X=(x1 x2 x3 x4) (matrices colonnes)
1 1 -1/2 -1/2
-1 1 1/2 1/2

je calcule le polynome caracteristique et je trouve : det(A-lambda.I4)=(lambda-1)²(lambda²+1)
Comme on peut le remarquer le polynome caracteristique est scindé sur C et A est trigonalisable sur C car E(1) est de dimension 1. Les sous espaces propres trouvés sont :
E(1)=vect(1 0 1 -1) E(i)= Vect (1 i 1 1) E(-i)= vect(1 -i 1 1) (ce sont des vecteurs colonnes a chaque fois)

Je dois trouver un 4eme vecteur pour former une base de C^4. Ma question est la suivante :
Quelle méthode simple me proposez vous pour trouver ce 4eme vecteur ?

j'ai pensé au produit vectoriel pour trouver ce vecteur w4 en posant : w4=w1^w3 . Puis je cherche l'image de ce vecteur par l'endomorphisme représenté par la matrice A..et là j'ai perdu le fil.. !
xsilver peux tu eclairer ma lanterne à la lumière du Dm sur la reduction des endomorphismes que (bien evidemment ) je n'ai pas emporté avec moi ?

Voila comment il faut faire à mon avis (E c'est l'espace vect C^4):

Théorie: on a polcar(A)=0 donc (A-I)²(A-iI)(A+iI)=0 donc Ker((A-I)²(A-iI)(A+iI)) = E donc par le th de décompo des noyaux E= ker(A-iI)²) + ker(A-iI) + ker(A+iI) (c'est une somme direct)

Ainsi il faut trouver une base de ker(A-iI) et de ker(A+iI) (tu l'a déjà fait : il faut trouver a chaque fois un vecteur propre),
et une base de ker(A-iI)²) : il y a deux vecteurs, pour le premier il vaut mieux prendre un vecteur de ker(A-iI)) (ie un vecteur propre) qui sera automatiquement dans ker(A-iI)²) (car inclusion évidente...) et pour le deuxième, un vecteur de ker(A-iI)²) indépendant du premier...

J'espère ne pas avoir dit trop de bêtises ... je n'ai pas eu le courage de faire l'exo^^

Marco renou a écrit: pour le premier il vaut mieux prendre un vecteur de ker(A-iI)) (ie un vecteur propre) qui sera automatiquement dans ker(A-iI)²) (car inclusion évidente...) et pour le deuxième, un vecteur de ker(A-iI)²) indépendant du premier...

(Pour que la matrice obtenue à la fin soit de la forme
i 0 0 0
0 -i 0 0
0 0 1 *
0 0 0 1
)