Un défi de géométrie
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Un défi de géométrie
Su Yang Mer 10 Nov - 11:27
Voilà un joli exercice de géométrie : Soit A, B,C,D Quatre points du plan. Montrer qu'on a toujours AC*BD<=AB*CD+BC*AD. (C'est l'inégalité de Ptolémée.) Avec égalité ssi les 4 points forment un quadrilatère convexe inscriptible (i.e les quatres points sont rangés dans le sens anti-trigo et appartiennent à un même cercle.).
Pour ceux qui ont réussi par la méthode suggérée dans spoiler numéro 1, voici une suggestion pour une résolution purement géométrique et constructive :
pour plus d'indication :
A priori les indications données ne sont pas suffisantes, je propose alors un astuce de calcul qui vous permet de mener à bout assez simplement le calcul de la méthode 1 :
- Spoiler:
- Passez par les complexes, c'est alors une conséquence directe d'inégalité triangulaire.
Pour ceux qui ont réussi par la méthode suggérée dans spoiler numéro 1, voici une suggestion pour une résolution purement géométrique et constructive :
- Spoiler:
- Définir E comme l'image de D par la similitude de centre A, de rapport AC/AB et d'angle BAC orienté dans ce sens.
pour plus d'indication :
- Spoiler:
- Dès lors l'inégalité à montrer revient à l'inégalité 'somme de 2 côtés d'un triangle'>='troisième côté' dans le triangle BDC avec égalité ssi le triangle est plat!
A priori les indications données ne sont pas suffisantes, je propose alors un astuce de calcul qui vous permet de mener à bout assez simplement le calcul de la méthode 1 :
- Spoiler:
- Prendre a=0 quitte à composer avec une translation.
Su Yang- Admin
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Date d'inscription : 22/10/2010
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