Un ptit défi ...

Est ce qu'il existe deux séries (terme général an et bn ) décroissantes positives tq chacune diverge mais la série des min(an,bn) converge?
Si oui: exemple? Si non: démonstration?


Je donne le même aux PSI*.

On construit an et bn a partir de la série des 1/n^2 :

ao=b0=1

puis a1=b1=1/2^2 et an est constante jusqu'a n=no tel que a1+a2+...+ano>1, et pour n appartenant a {2,...,no} bn=1/n^2

puis bn=1/no^2 est constante jusqu'a n=n1 tel que bno+...+bn1>1, et pour n appartenant a {no+1,...,n1} an=1/n^2

et ainsi de suite

on a : sum(an,n,o,infinity)=1+1+(quelquechose de positif)+1+(quelquechose de positif)+1+(quelquechose de positif)+1+(quelquechose de positif)+1+(quelquechose de positif)+1+(quelquechose de positif)+1+(quelquechose de positif)+1+(quelquechose de positif)+1+(quelquechose de positif)+1+... ca tend vers l'infini

idem la série de tg bn DV

mais pour tout n appartenant a lN, min(an,bn)=1/n^2. Donc la série de tg min(an,bn) CV

a+

euh dsl, sum(an,n,o,infinity)>= au truc qui prend plein de lignes

C'est vraiment un exercice pas facile...